Question

（江西卷理）（本小題滿分12分）

已知點為雙曲線（為正常數）上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于.            

(1)    求線段的中點的軌跡的方程;

(2)    設軌跡與軸交于兩點,在上任取一點,直線分別交軸于兩點.求證:以為直徑的圓過兩定點.

Answer 1

的軌跡的方程為.，

解析:

(1) 解  由已知得,則直線的方程為:,

   令得,即,

設,則,即代入得:,

即的軌跡的方程為.            

(2) 證明  在中令得,則不妨設,

于是直線的方程為:,

直線的方程為:,

則,

則以為直徑的圓的方程為: ,

令得:,而在上,則,

于是,即以為直徑的圓過兩定點.