Question

如圖，點A、B分別是橢圓的長軸的左、右端點，F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直線PA的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設知A（-6，0），直線AP的斜率為，從而可得直線AP的方程
（Ⅱ）設M（m，0）（-6≤m≤6）由于M到直線AP的距離等于MB，可得結合-6≤m≤6，可求m，設P（x，y）是橢圓上任意一點，則．d=，結合二次函數的性質可求
解答：解：（I）由題設知A（-6，0），B（6，0），直線AP的斜率為，…（2分）
直線AP的方程為，即x-y+6=0．…（4分）
（Ⅱ）設M（m，0）（-6≤m≤6），…（5分）
由于M到直線AP的距離等于MB，
．…（6分）
∵-6≤m≤6，∴解得m=2，
M的坐標為（2，0）．…（8分）
設P（x，y）是橢圓上任意一點，則．
d=
當x=時d 有最小值
點評：本題主要考查了直線方程的點斜式在求解直線方程中的應用，結合橢圓的范圍求解二次函數的最值，屬于知識的簡單綜合．