Question

你能應用求導的方法求和S_n(x)=1+2x+3x²+…+nx^n-1(x≠0,n∈N^*)嗎？

Answer 1

分析：由求導公式(xⁿ)′=nx^n-1,可聯想到它是另外一個和式x+x²+x³+…+xⁿ的導數.因此可轉化先求和，再利用導數運算使問題得以解決.

解：當x=1時.S_n=1+2+3+…+n=n(n+1);

當x≠1時，x+x²+x³+…+xⁿ=,

兩邊都是關于x的函數，求導得

S_n(x)=(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′,

即S_n(x)=1+2x+3x²+…+nx^n-1=.