Question

【題目】數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結論：

①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；

③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3.

其中，所有正確結論的序號是

A. ①B. ②C. ①②D. ①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

將所給方程進行等價變形確定x的范圍可得整點坐標和個數，結合均值不等式可得曲線上的點到坐標原點距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點的坐標可確定圖形面積的范圍.

由得,,,

所以可為的整數有0,-1,1,從而曲線恰好經過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六個整點,結論①正確.

由得,,解得,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過. 結論②正確.

如圖所示,易知,

四邊形的面積,很明顯“心形”區域的面積大于,即“心形”區域的面積大于3,說法③錯誤.

故選C.