Question

某地為促進淡水養殖業的發展,將價格控制在適當范圍內,決定對淡水養殖提供政府補貼.設淡水魚的市場價格為x元/千克,政府補貼為t元/千克,根據市場調查,當8≤x≤14時,淡水魚的市場日供應量P千克與市場日需求量Q千克近似地滿足關系:

P=1 000(x+t-8)(x≥8,t≥0),Q=500(0≤x≤14),

當P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格.

(1)將市場平衡價格表示為政府補貼的函數,并求出函數的定義域.

(2)為使市場平衡價格不高于每千克10元,政府補貼至少為每千克多少元?

Answer 1

思路分析:弄清題意是解答本題的關鍵.第(1)問中,將市場平衡價格表示為政府補貼的函數,就是將x表示為t的函數,即x=f(t).第(2)問就是在函數x=f(t)中,值域f(t) ≤10時,求自變量t的最小值.

解:(1)市場平衡價格即P=Q.

∴1 000(x+t-8)=500.

化簡得［2(x+t-8)］²=40-(x-8) ²,5x²+(8t-80)x+(4t²-64t+280)=0,

當Δ=(8t-80) ²-4×5×(4t²-64t+280)≥0,即Δ=800-16t²≥0,t²≤50時,

x=8- t±.由已知x≥8,∴x=8-t+.

故所求函數解析式為x=8-t+.

其中定義域必須滿足以下條件:

即即0≤t≤.

(2)市場平衡價格不高于每千克10元,

即8-t+≤10,整理得≤5+2t.

∴t≤-5或t≥1.又∵0≤t≤,∴t≥1.故政府補貼至少每千克1元.