Question

【題目】已知橢圓 （）的焦距為4，左、右焦點分別為，且 與拋物線： 的交點所在的直線經過.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過 的直線 與交于兩點，與拋物線無公共點，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（1）先根據焦距確定焦點坐標，再根據對稱性得與拋物線： 的交點所在的直線為,即得一個交點為，代入橢圓方程，結合可解得， ；（2）先設直線： ，由直線與拋物線無公共點，利用判別式小于零得.由弦長公式可求底邊AB長，利用點到直線距離可得高，代入面積公式可得，根據對勾函數確定其值域.

試題解析：（Ⅰ）依題意得，則， .

所以橢圓與拋物線的一個交點為，

于是 ，從而.

又，解得

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）依題意，直線的斜率不為0，設直線： ，

由，消去整理得，由得.

由，消去整理得，

設， ，則， ，

所以 ，

到直線距離，

故 ，

令，則 ，

所以三邊形的面積的取值范圍為.