Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=a^x-1．其中a＞0且a≠1．
（1）求f（2012）+f（-2012）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）當a=2時，解關于x的不等式-1＜f（x-1）＜4，結果用集合或區間表示．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義可以得出f（-x）+f（x）=0，從而求得所求的式子的值．
（2）根據奇函數的定義可得f（0）=0．設xx≤0，則-x≥0，再根據條件求得此時f（x）的解析式，從而得出結論．
（3）故當x≥0時，有-1＜2^x-1-1＜4，由此求得x的范圍．當x＜0時，-1＜1-2^-（x-1）＜4，由此求得x的范圍．最后再把這2個x的范圍取并集，即得所求．

解答：解：（1）由奇函數的定義可得f（2012）+f（-2012）=f（2012）-f（2012）=0．
（2）設x≤0，則-x≥0，故有f（-x）=a^-x-1=-f（x），∴f（x）=1-a^-x．
由此可得 f（x）=

ax-1 ，x＞0 0 ，x=0 1-a-x ，x＜0

．
（3）由于a=2，故當x≥0時，有-1＜2^x-1-1＜4，即0＜2^x-1＜5，所以x∈（0，log₂10）．
當x＜0時，-1＜1-2^-（x-1）＜4，所以，不等式無解
綜上所述，不等式的解集為 （0，log₂10）．

點評：本題考查了奇函數的性質、求函數的解析式、以及對數函數不等式的解法，屬于中檔題．