Question

【題目】如圖，為圓上的動點，定點，線段的垂直平分線交線段于點．

（1）求動點的軌跡方程；

（2）記動點的軌跡為曲線 ，設圓的切線交曲線于兩點，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）考慮到點在線段的垂直平分線上，因此有是常數，從橢圓定義知，其軌跡是橢圓，由橢圓標準方程可得軌跡方程；（2）當切線垂直坐標軸時，求得，在切線不垂直坐標軸時，設切線的方程：，同時點，由直線和圓相切，得，把代入橢圓方程，可得，然后計算，但直接計算不方便，通過計算，得，由直角三角形的面積可得，由弦長公式計算出，并把代入得關于的函數，設后可求得其最大值．

試題解析：（1）因為，

所以動點的軌跡為橢圓，

∴，∴，

∴動點的軌跡方程為；

（2）①當切線垂直坐標軸時，；

②當切線不垂直坐標軸時，設切線的方程：，點，由直線和圓相切，得

由得，，

∴

∴

，

∴，∴

又∵，

令，則，

當且僅當時，等號成立，

∴，

綜上，的最大值為