Question

【題目】設函數在上有意義，實數和滿足，若在區間上不存在最小值，則稱在上具有性質.

（1）當，且在區間上具有性質時，求常數的取值范圍；

（2）已知，且當，，判斷在區間上是否具有性質，請說明理由：

（3）若對于滿足的任意實數和，在上具有性質時，且對任意，當時有：，證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）具有性質；（3）略.

【解析】

（1）分別討論與1和2的關系，即可得出是否存在最小值，從而求出的取值范圍；

（2）由題目條件可得出在區間，上如果有最小值，則最小值必在區間，上取到，又在區間，上不存在最小值，所以在區間，上具有性質；

（3）首先證明對于任意，；其次證明當且時，；當且時，；最后證明：當時，．

解：（1）當時，在，上存在最小值；

當時，在，上存在最小值（2）；

當時，在，上單調遞增，所以不存在最小值．

所以．

（2）因為時，，

所以在區間，上如果有最小值，則最小值必在區間，上取到

另一方面，在區間，上不存在最小值，

所以在區間，上具有性質．

（3）①首先證明對于任意，．

當時，由

可知介于和之間．若，

則在區間，上存在最小值，矛盾．

利用歸納法和上面結論可得：對于任意，，當時，．

②其次證明當且時，；當且時，．

任取，設正整數滿足，則．

若存在使得，則，

即．由于當時，，

所以在區間，有最小值，矛盾．

類似可證，當且時，．

③最后證明：當時，．

當時，成立．當時，由可知，

存在使得，所以．

當時，有：

若，則，

所以在，上存在最小值，故不具有性質，故不成立．

若，則，，

假設，則在，上存在最小值，

故不具有性質，故假設不成立．

所以當時，對于任意都成立．

又，故當、，

所以，即．

所以當時，則存在正整數使得，則

所以當時，，同理可證得當時，．

所以當時，必然存在正整數，使得，所以；

當時，顯然成立；

所以綜上所述：當時，．