Question

設函數f(x)=-lnx+ln(x+1).

(1)求f(x)的單調區間和極值.

(2)是否存在實數a,使得關于x的不等式f(x)≥a的解集為(0,+∞)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,試說明理由.

Answer 1

本題主要考查函數的導數、單調性、極值,不等式等基礎知識,考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力.

解:(1)f′(x)=.                          

故當x∈(0,1)時,f′(x)＞0,

x∈(1,+∞)時,f′(x)＜0.

所以f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.                                 

由此知f(x)在(0,+∞)上的極大值為f(1)=ln2,沒有極小值.                             

(2)①當a≤0時,

由于f(x)=

=＞0,

故關于x的不等式f(x)≥a的解集為(0,+∞).                                      

②當a＞0時,由f(x)=+ln(1+)知f(2ⁿ)=+ln(1+),其中n為正整數,且有ln(1+)＜n＞-log₂( -1).                                           

又n≥2時,=＜=,

且＜n＞+1.

取整數n₀滿足n₀＞-log₂(-1),n₀＞+1,且n₀≥2,

則f()=+ln(1+)＜+=a,

即當a＞0時,關于x的不等式f(x)≥a的解集不是(0,+∞).

綜合①②知,存在a,使得關于x的不等式f(x)≥a的解集為(0,+∞),且a的取值范圍為(-∞,0］.