Question

如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，PC⊥面ABC，直線AM與直線PC所成的角為60°，求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量即可得到異面直線所成的角，求出點P的坐標，再利用兩個平面的法向量即可得出二面角．

解答：解：在平面ABC內，過C作CD⊥CB，建立空間直角坐標系C-xyz（如圖）
由題意有A（

3

2

，-

1

2

，0），設P（0，0，z₀），（z₀＞0），
則M（0，1，z₀），

AM

=(-

3

2

，

3

2

，z0)，

CP

=(0，0，z0)，
由直線AM與直線PC所成的角為60°，得

AM

•

CP

=|

AM

|•|

CP

|•cos60°，
即

z

2 0

=

1

2

z 2 0 +3

•z0，解得z₀=1，
∴

CM

=（0，1，1），

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，
設平面MAC的一個法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
則

n • CM =0 n • CA =0

，即

y1+z1=0 3 2 x1- 1 2 y1=0

，取x₁=1，得

n

=（1，

3

，-

3

）．          
平面ABC的法向量為

CP

，∴cos＜

CP

，

n

＞=

CP • n

|CP| |n|

=

- 3

7

=-

21

7

，
又∵二面角M-AC-B為銳角，∴二面角M-AC-B的平面角余弦值為

21

7

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系并利用異面直線的方向向量得到異面直線所成的角、利用兩個平面的法向量求二面角的方法是解題的關鍵．