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如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點。
（1）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（2）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點。若直線l繞點F任意轉動，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范圍。
解：（1）設M，N為短軸的兩個三等分點，因為△MNF為正三角形
所以
即1=
解得

因此，橢圓方程為；
（2）設
（i）當直線AB與x軸重合時

因此，恒有。
（ii）當直線AB不與x軸重合時，
設直線AB的方程為代入
整理得
所以
因為
所以∠AOB恒為鈍角
即恒成立


又
所以對m∈R恒成立，
即對m∈R成立
當m∈R時，最小值為0
所以

因為a>0，b>0
所以
即
解得a＞或a＜（舍去）
即a＞
綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

 (22) （本小題滿分14分）

如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.

 (ⅰ)求證：點M恒在橢圓C上；

(ⅱ)求△AMN面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線與軸交于點N，直線AF與BN交于點．求證：點M恒在橢圓C上．

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科目：高中數學 來源：2008年普通高等學校招生全國統一考試數學文史類（福建卷） 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.
(ⅰ)求證：點M恒在橢圓C上；
(ⅱ)求△AMN面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，橢圓=1(a＞b＞c)的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，過橢圓的右焦點F作垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于P點.若點D滿足 (λ≠0).

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)若橢圓的長軸長等于4，Q是橢圓右準線l上異于點A的任意一點，A1、A2分別是橢圓的左、右頂點，直線QA1、QA2與橢圓的另一個交點分別為M、N，求證：直線MN與x軸交于定點.

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇省南京市寧海中學高二（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓（a＞b＞0）過點，其左、右焦點分別為F1，F2，離心率，M，N是橢圓右準線上的兩個動點，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結論．

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