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(2012•孝感模擬)如圖,曲線C1是以原點O為中心,F1,F2為焦點的橢圓的一部分.曲線C2是以O為頂點,F2為焦點的拋物線的一部分,A是曲線C1和C2的交點且∠AF2F1為鈍角,若|AF1|=
7
2
,|AF2|=
5
2

(I)求曲線C1和C2的方程;
(II)設點C是C2上一點,若|CF1|=
2
|CF2|,求△CF1F2的面積.
分析:(I)設曲線C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,則根據|AF1|=
7
2
,|AF2|=
5
2
,可得a=3,設A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),則(x+c)2+y2=
49
4
,(x-c)2+y2=
25
4
,由此可求曲線C1和C2的方程;
(II)過點F1作直線l垂直于x軸,過點C作直線CC1⊥l于點C1,依題意知l為拋物線C2的準線,則|CC1|=|CF2|,在△CF1F2中,設|CF2|=r,則|CF1|=
2
r,|F1F2|=2,由余弦定理可得r=2,再利用三角形的面積公式,即可求得結論.
解答:解:(I)設曲線C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,則2a=|AF1|+|AF2|=
7
2
+
5
2
=6
得a=3
設A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),則(x+c)2+y2=
49
4
,(x-c)2+y2=
25
4

兩式相減可得:xc=
3
2

由拋物線定義可知|AF2|=x+c=
5
2

∴c=1,x=
3
2
或x=1,c=
3
2
(舍去)
所以曲線C1的方程為
x2
9
+
y2
8
=1(-3≤x≤
3
2
)
,C2的方程為y2=4x(0≤x≤
3
2
);
(II)過點F1作直線l垂直于x軸,過點C作直線CC1⊥l于點C1,依題意知l為拋物線C2的準線,則|CC1|=|CF2|
在直角△CC1F1中,|CF1|=
2
|CC1|,∠C1CF1=45°
∵∠CF1F2=∠C1CF1=45°
在△CF1F2中,設|CF2|=r,則|CF1|=
2
r,|F1F2|=2
由余弦定理可得22+2r2-2×2×
2
rcos45°=r2
∴r=2
∴S△CF1F2=
1
2
×2×2
2
sin45°=2
點評:本題考查了橢圓,拋物線方程的求法,考查三角形面積的計算,求得方程是關鍵.
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6
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2
3
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2
3
2
3

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12
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