Question

一個正三角形的三個頂點都在雙曲線x²-ay²=1的右支上，其中一個頂點是雙曲線的右頂點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據題意設雙曲線的方程，進而得到右頂點的坐標，再由正三角形的對稱性可設其他兩點中任意點的坐標，然后得到橫縱坐標之間的關系，然后將點代入雙曲線方程，根據判別式大于等于0可求出a的范圍．

解答：解：由題意可知正三角形的一個頂點的坐標為（1，0），另兩個關于x軸對稱，
故可得等邊三角形雙曲線右頂點的兩個邊的斜率分別為

3

3

，-

3

3

雙曲線的漸近線方程是y=±

1

a

所以有

1

a

≤

3

3

解得a＞3．

點評：本題主要考查雙曲線的基本性質．考查運算能力．