Question

【題目】如圖，四邊形ABCD外接于圓，AC是圓周角∠BAD的角平分線，過點C的切線與AD延長線交于點E，AC交BD于點F．

（1）求證：BD∥CE；
（2）若AB是圓的直徑，AB=4，DE=1，求AD的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC是圓周角∠BAD的角平分線，∴∠EAC=∠BAC，

又∵CE是圓的切線，∴∠ECD=∠EAC，∴∠ECD=∠BAC，

又∵∠BAC=∠BDC，∴∠ECD=∠BDC，

∴BD∥CE

（2）解：由（1）知∠ECD=∠BAC，∠CED=∠ADB，

∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，

∴ ，∴ ，

∵∠EAC=∠DBC，由（1）知∠EAC=∠BDC，∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC，

∴ ，則BC2=ABDE=4，∴BC=2

∴在Rt△ABC中， ，∴∠BAC=30°，∴∠BAD=60°，

∴在Rt△ABD中，∠ABD=30°，

所以

【解析】（1）根據圓的切線性質結合角平分線的性質即可證明BD∥CE；（2）若AB是圓的直徑，AB=4，DE=1，根據三角形相似的性質即可求AD的長度．