Question

設H是△ABC 的外心，A（1，0），B（-1，0），O為坐標原點，動點G滿足：3=+，且=λ,λ∈R.

（1）求頂點C的軌跡E的方程；

（2）如圖，從點D（，0）發射出一個質點m沿拋物線C₁：y=-ax²+h向上飛行到點P時,立即得到變軌指令，即開始沿著曲線E運動.兩曲線C₁和E在公共點P處的切線相同.求拋物線C₁的方程.

Answer 1

解:（1）令=(x₁,y₁),=(x,y),則=(x+1,y),                                    

由3=+得?

3=3(x₁,y₁)=(1,0)+(x+1,y)=(x+2,y),?

∴3y₁=y.?

又=λ,λ∈R.?

∴GH∥AB.?

∴H(0,).                                                                                                              ?

∵H是△ABC的外心，?

∴|HA|=|HC|.?

∴=(y≠0).?

整理得x²+=1(y≠0).                                                                                    

（2）設P（x₀,y₀）,∵y=-ax²+h.?

∴y′=-2ax,在P處的切線斜率為-2ax₀.?

對于橢圓，當y＞0時，y=,y′=,?

在P處的切線斜率為,?

∴-2ax₀=-.                                                                                              ?

①當x₀≠0時，x₀²=,y₀=.?

又

∴拋物線方程為y=-x²+.                                                                                      ?

②當x₀=0時，y₀=,點（0,）在拋物線上，則=h;點(,0)在拋物線上，?

∴0=-a()+h.∴a=.?

∴y=-x²+.