Question

（2013•鎮江二模）已知a為正的常數，若不等式

1+x

≥1+

x

2

-

x2

a

對一切非負實數x恒成立，則a的最大值為

8

．

Answer 1

分析：依題意，可將a分離出來，構造函數，f（x）=4（1+

x

2

+

1+x

）（x≥0），利用該函數的單調遞增的性質求其最小值，即可求得a的最大值．

解答：解：∵a＞0，x≥0，

1+x

≥1+

x

2

-

x2

a

，
∴

x2

a

≥1+

x

2

-

1+x

=

(1+ x 2 - 1+x )(1+ x 2 + 1+x )

(1+ x 2 + 1+x )

=

x2 4

(1+ x 2 + 1+x )

=

x2

4(1+ x 2 + 1+x )

，
∴0＜a≤4（1+

x

2

+

1+x

）對一切非負實數x恒成立．
令f（x）=4（1+

x

2

+

1+x

）（x≥0），則0＜a≤f（x）_min．
∵f′（x）=4（

1

2

+

1

2 1+x

）＞0，
∴f（x）=4（1+

x

2

+

1+x

）（x≥0）在[0，+∞）上單調遞增，
∴f（x）_min=f（0）=8．
∴0＜a≤8．
故a的最大值為8．
故答案為：8．

點評：本題考查函數恒成立問題，分離參數a，構造函數f（x）=4（1+

x

2

+

1+x

）（x＞0）是關鍵，也是難點，考查創新思維與轉化思想，屬于難題．