Question

【題目】某旅游景點預計2013年1月份起前x個月的旅游人數的和p（x）（單位：萬人）與x的關系近似地滿足p（x）=x（x+1）（39﹣2x），（x∈N* ， 且x≤12）．已知第x月的人均消費額q（x）（單位：元）與x的近似關系是q（x）=
（I）寫出2013年第x月的旅游人數f（x）（單位：萬人）與x的函數關系式；
（II）試問2013年第幾月旅游消費總額最大，最大月旅游消費總額為多少元？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當x=1時，f（1）=p（1）=37，
當2≤x≤12，且x∈N*時，
f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=x（x+1）（39﹣2x）﹣（x﹣1）x（41﹣2x）=﹣3x2+40x．
驗證x=1符合f（x））=﹣3x2+40x（x∈N* ， 且1≤x≤12））
（Ⅱ）第x月旅游消費總額為g（x）=（x∈N*）
即g（x）=（x∈N*）
當1≤x≤6，且x∈N*時，g′（x）=18x2﹣370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．
∴當1≤x＜5時，g′（x）＞0，當5＜x≤6時，g′（x）＜0，
∴當x=5時，g（x）max=g（5）=3125（萬元）．
當7≤x≤12，且x∈N*時，g（x）=﹣480x+6400是減函數，∴當x=7時，g（x）max=g（7）=3040（萬元），
綜上，2013年第5月份的旅游消費總額最大，最大月旅游消費總額為3125萬元
【解析】（Ⅰ）根據所給的前x個月旅游人數的和，可以得到第x個月的旅游人數，注意驗證第一個月的旅游人數符合表示式．
（Ⅱ）根據所給的表示式，寫出第x月旅游消費總額，是一個分段函數，求出分段函數的最大值，把兩個最大值進行比較，得到最大月旅游消費總額．