Question

【題目】已知各項均大于1的數列{an}滿足：a1= ，an+1= （an+ ），（n∈N*），bn=log5 ．
（1）證明{bn}為等比數列，并求{bn}通項公式；
（2）若cn= ，Tn為{cn}的前n項和，求證：Tn＜6．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由an+1= （an+ ），可得：

bn+1=log5 =log5 =log5（ ）2=2log5 ，

即有 = =2，

則{bn}是首項為b1=log5 =1，公比為2的等比數列；

且bn=b1qn﹣1=2n﹣1；

（2）證明：cn= = =（n+1）（ ）n﹣1，

可得Tn=21+3 +4（ ）2+…+（n+1）（ ）n﹣1，

Tn=2 +3（ ）2+4（ ）3+…+（n+1）（ ）n，

兩式相減可得， Tn=2+[ +（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1]﹣（n+1）（ ）n

=2+ ﹣（n+1）（ ）n=3﹣ ﹣ ，

則Tn=6﹣ ＜6成立．

【解析】（1）運用對數的運算性質，結合等比數列的定義，可得 =2，即可得證，再由等比數列的通項公式即可得到所求；（2）求得cn= =（n+1）（ ）n﹣1 ， 運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式可得Tn ， 由不等式的性質即可得證．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．