Question

若函數f（x）在（0，+∞）上恒有xf′（x）＞f（x）成立（其中f′（x）為f（x）的導函數），則稱這類函數為A類函數．
（1）若函數g（x）=x²-1，試判斷g（x）是否為A類函數；
（2）若函數h(x)=ax-3-lnx-

1-a

x

是A類函數，求函數h（x）的單調區間；
（3）若函數f（x）是A類函數，當x₁＞0，x₂＞0時，證明f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

Answer 1

（1）因為g'（x）=2x，
所以xg'（x）-g（x）=2x²-（x²-1）=x²+1＞0在（0，+∞）上恒成立，
即xg'（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
所以g（x）=x²-1是A型函數．…（2分）
（2）h′(x)=a-

1

x

+

1-a

x2

(x＞0)，
由xh'（x）＞h（x），
得ax-1+

1-a

x

＞ax-3-lnx-

1-a

x

，
因為x＞0，所以可化為2（a-1）＜2x+xlnx，
令p（x）=2x+xlnx，p'（x）=3+lnx，
令p'（x）=0，得x=e^-3，
當x∈（0，e^-3）時，p'（x）＜0，p（x）是減函數；
當x∈（e^-3，+∞）時，p'（x）＞0，p（x）是增函數，
所以p(x)min=p(e-3)=-e-3，
所以2（a-1）＜-e^-3，a＜1-

1

2

e-3．…（4分）
①當a=0時，由h′(x)=

1-x

x2

＞0，得x＜1，
所以增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）；
②當a＜0時，由h′(x)=

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

＞0，得0＜x＜1，
所以增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）；
③當0＜a＜

1

2

時，得x＜1，或x＞

1-a

a

，
所以增區間為（0，1），(

1-a

a

，+∞)，減區間為(

1-a

a

，1)；
④當a=

1

2

時，h'（x）≥0，
所以，函數增區間為（0，+∞）；
⑤

1

2

＜a＜1-

1

2

e-3時，由h′(x)=

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

＞0，得x＜

1-a

a

，或x＞1，
所以增區間為（1，+∞），a₁•a₂•…•a_k-1＞1×2×…×（k-1）≥2k-2＞k，
減區間為(

1-a

a

，1)．   …（10分）
（3）證明：函數f（x）是（0，+∞）上的每一點處都有導數，
且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，
設F(x)=

f(x)

x

，F′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0在（0，+∞）時恒成立，
所以函數F(x)=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數，…（12分）
因為x₁＞0，x₂＞0，
所以x₁+x₂＞x₁＞0，x₁+x₂＞x₂＞0，
所以F（x₁+x₂）＞F（x₁），F（x₁+x₂）＞F（x₂），
即

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

，（14分）
所以f(x1)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f(x2)＜

x2f(x1+x2)

x1+x2

，
兩式相加，得f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．（16分）