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對定義在［-1,1］上的函數f(x),若存在常數A＞0,使得對任意x1、x2∈［-1,1］,都有|f(x1)-f(x2)|≤A·|x1-x2|,則稱f(x)具有性質L.問函數f(x)=x2+3x+5與g(x)=|是否具有性質L?試證明之.

思路分析:要確定一個函數具有性質L,其關鍵是要能找到滿足題設條件中的常數A,而要確定一個函數不具有性質L,則一般需通過反證法來證明或尋找一個反例.

解析:(1)對于f(x)=x2+3x+5,任取x1、x2∈［-1,1］,

|f(x1)-f(x2)|=|x12-x22+3(x1-x2)|=|(x1-x2)(x1+x2+3)|

=|x1-x2|·|x1+x2+3|

≤|x1-x2|·(|x1|+|x2|+3)

≤5|x1-x2|.

∴存在A=5,使f(x)具有性質L.

(2)對于g(x)=,設它具有性質L,任取x1、x2∈［0,1］,則|g(x1)-g(x2)|=|-|

=≤A|x1-x2|,

∴A≥,

≤2.

∴∈(0,2］.取x1=≤1,x2=,有,與≥矛盾,故g(x)=不具有性質L


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）定義在R上的偶函數y=f（x）滿足：
①對x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）
②f（-5）=-1；
③當x1，x2∈[0，3]且x1≠x2時，都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
＞0則
（1）f（2009）=
-1
-1
；
（2）若方程f（x）=0在區間[a，6-a]上恰有3個不同實根，實數a的取值范圍是
（-9，-3]
（-9，-3]
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2003•北京）設y=f（x）是定義在區間[-1，1]上的函數，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否滿足題設條件；
（Ⅲ）在區間[-1，1]上是否存在滿足題設條件的函數y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

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（12分）對定義在[0, 1]上并且滿足下列兩個條件的函數稱為G函數。①對任意的，②成立。已知是定義在[0, 1]上的函數。

（1）問是否為G函數，說明理由；

（2）若是G函數，求實數m取值的范圍。

 

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科目：高中數學 來源：北京 題型：解答題

設y=f（x）是定義在區間[-1，1]上的函數，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否滿足題設條件；
（Ⅲ）在區間[-1，1]上是否存在滿足題設條件的函數y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

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