Question

【題目】已知函數，其中a，．

（I）若直線是曲線的切線，求ab的最大值；

（Ⅱ）設，若關于x的方程有兩個不相等的實根，求a的最大整數值．（參考數據：）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）設出直線與相切的切點坐標為，然后對函數進行求導，這樣可以得到，切點又在直線上，這樣可以得到

，則有，設函數

，求導，判斷函數的單調性，最后求出函數的最大值，也就求出ab的最大值；

（Ⅱ）方法1：原方程化為，令進行換元，方程等價于，構造函數，原問題等價于函數需有兩個不同的零點．對函數進行求導，根據函數的導函數的單調性，可以知道在上存在唯一實根，這樣可以判斷出函數的單調性，然后根據的正負性進行分類討論，根據函數的單調性最后求出a的最大整數值．

方法2：原方程即為，設，

則原方程等價于關于的方程有兩個不同的解，

即關于的方程）有兩個不同的解．構造函數，求導得，得到函數的單調性，最后求出a的最大整數值．，

解：（I）設直線與相切于點．

因為，所以

所以．

又因為P在切線上，所以

所以，，

因此.

設，

則由

解得.

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

可知的最大值為，

所以的最大值為.

（Ⅱ）方法1：原方程即為，

設，則上述方程等價于．

設，則函數需有兩個不同的零點．

因為在上單調遞減，

且在上存在唯一實根，

即，即．

所以當時，，當時，．

因此在上單調遞增，在上單調遞減．

若，則．

，

不合題意，舍去．

若，則．

當時，則，

取，則；

當時，則，

取，則．

由此，且，.

要使函數有兩個不同的零點，

則只需，

所以只需.

因為是關于的增函數．

且，

所以存在使得，

所以當時，．

因為是關于的減函數，

所以

又因為，

所以的最大整數值為．

方法2：原方程即為，設，

則原方程等價于關于的方程有兩個不同的解，

即關于的方程）有兩個不同的解．

設，則.

設，

由知，所以

在區間上單調遞減，又，

所以存在使得.

當時，，；當時，，．

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所照．

要使得關于的方程有兩個不同的解，則.

當時，設，

則，可知在上單調遞增，

在單調遞減．

又，，，

有兩個不同的零點，符合題意．

所以的最大整數值為．