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已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

(1)設橢圓的半焦距c=1,且a2,b2,c2成等差數列,求橢圓C的方程;
(2)設(1)中的橢圓C與直線y=kx+1相交于P、Q兩點,求
OP
OQ
的取值范圍.
分析:(1)由已知榀得a2=b2+1,且2b2=a2+1,進而求出a2=3,b2=2,
(2)將y=kx+1代入橢圓方程消掉y可得關于x的二次方程,設P(x1,y1),Q(x2,y2),利用韋達定理可把
OP
OQ
表示為k的函數,根據基本函數的性質可求得
OP
OQ
的取值范圍;
解答:解:(1)∵橢圓的半焦距c=1,
∴a2=b2+1,
又∵a2,b2,c2成等差數列,
∴2b2=a2+1,
解得a2=3,b2=2,
所以橢圓C的方程是
x2
3
+
y2
2
=1
…(4分)
(2)將y=kx+1代入
x2
3
+
y2
2
=1
得,
x2
3
+
(kx+1)2
2
=1

即化簡得,(3k2+2)x2+6kx-3=0,△>0,
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-
6k
3k2+2
,x1x2=-
3
3k2+2
,…(6分)
OP
OQ
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=
-3(k2+1)
3k2+2
-
6k2
3k2+2
+1=
-6k2-1
3k2+2
=-2+
3
3k2+2
…(8分),
由k2≥0,得3k2+2≥2,0<
3
3k2+2
3
2
,
∴-2<-2+
3
3k2+2
≤-
1
2

OP
OQ
的取值范圍是(-2,-
1
2
]…(12分)
點評:本題考查直線與橢圓的位置關系、向量的數量積運算、橢圓方程的求解,考查橢圓中的不等式,考查學生分析問題解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經過點P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系,并說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合,O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設A、B是橢圓C上的不同兩點,點D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經過點A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓經過坐標原點O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•房山區二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設過點P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點,且M,N不與橢圓的頂點重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A,求直線l的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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