Question

已知函數f(x)=

a•2x-b

2x+b

是定義在R上的奇函數，其反函數的圖象過點(

1

3

，1)，若x∈（-1，1）時，不等式f-1(x)≥log2

1+x

m

恒成立，則實數m的取值范圍為

m≥2

．

Answer 1

分析：根據f（x）是奇函數，則f（0）=0，結合反函數圖象經過的點的坐標，列出關于a，b的方程組，可求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式，再將x用y表示，最后交換x、y，即可求出反函數的解析式，從而得log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

對x∈（-1，1）恒成立根據函數在（0，+∞）上的單調性建立不等式，將m分離出來，即m≥1-x對x∈（-1，1）恒成立，從而求出所求．

解答：解：∵f（x）是奇函數，∴f(0)=0⇒

a•1-b

1+b

=0，
∴a=b①…（2分）
又其反函數的圖象過點(

1

3

，1)，得原函數過點（1，

1

3

），
∴f(1)=

1

3

⇒

a•2-b

2+b

=

1

3

②．
由①②得a=b=1．
記y=f(x)=

2x-1

2x+1

．整理得2x=

1+y

1-y

＞0，
∴

1+y

1-y

＞0⇒-1＜y＜1
上式兩邊取2為底的對數，x=log2

1+y

1-y

，交換x、y，y=log2

1+x

1-x

故所求反函數f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)…（8分）
從而log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

對x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函數，
∴

1+x

1-x

≥

1+x

m

…（11分）
即m≥1-x對x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范圍是m≥2…（13分）
故答案為：m≥2．

點評：本題主要考查了反函數，以及反函數與原函數的之間的關系，同時考查了恒成立問題和最值問題，是一道綜合題．