Question

【題目】已知拋物線的方程為拋物線上一點，為拋物線的焦點.

（I）求；

（II）設直線與拋物線有唯一公共點，且與直線相交于點，試問，在坐標平面內是否存在點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(I)；(II)存在，.

【解析】

試題分析：(I)借助題設條件運用拋物線的定義求解；(II)借助題設運用直線與拋物線的位置關系及向量的數量積探求.

試題解析：

（I）由題可知，即，由拋物線的定義可知............4分

（II）法1：由關于軸對稱可知，若存在點，使得以為直徑的圓恒過點，則點必在軸上，設，又設點，由直線與曲線有唯一公共點知，直線與相切由得.

，直線的方程為，

令得，點坐標為，，

點在以為直徑的圓上，

要使方程恒成立，必須有，解得.

在坐標平面內存在點，使得以為直徑的圓恒過點，其坐標為..................12分

法2：設點，由與曲線有唯一公共點知，直線與相切，

由得.直線的方程為，

令得，點坐標為，

以為直徑的圓的方程為： ①

分別令和，由點在曲線上得，

將的值分別代入①得： ②

③

②③聯立得或.

在坐標平面內若存在點，使得以為直徑的圓恒過點，則點必為或，將的坐標代入①式得，

左邊==右邊，

將的坐標代入①式得，左邊=不恒等于0，

在坐標平面內若存在點，使得以為直徑的圓恒過點，則點的坐標為.........12分