Question

（2006•朝陽區二模）已知向量

m

=（cos

x

3

，

3

cos

x

3

），

n

=（sin

x

3

，cos

x

3

），函數f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）由向量的數量積公式，結合三角恒等變換公式化簡得f（x）=

m

•

n

=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

；
（II）由正弦函數的圖象與性質，解不等式2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即可求出f（x）的單調遞增區間為[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]（k∈Z）；
（III）利用余弦定理和基本不等式，算出cosx≥

1

2

，從而得出x∈（0，

π

3

]．再求f（x）=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

在區間（0，

π

3

]上的最大最小值，即可算出函數f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（cos

x

3

，

3

cos

x

3

），

n

=（sin

x

3

，cos

x

3

），
∴f（x）=

m

•

n

=cos

x

3

sin

x

3

+

3

cos²

x

3

=

1

2

cos2

2x

3

+

3

2

(1+cos2x)=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得3kπ-

5π

4

≤x≤3kπ+

π

4

（k∈Z）．
∴f（x）的單調遞增區間為[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]（k∈Z）．…（9分）
（Ⅲ）cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2a c -ac

2ac

=

1

2

，
∵x是△ABC的內角，可得x∈（0，

π

3

]．
∴

2x

3

+

π

3

∈（

π

3

，

5π

9

]，可得

3

2

≤sin（

2x

3

+

π

3

）≤1
∴f（x）的值域是（

3

，1+

3

2

]．…（13分）

點評：本題著重考查了向量的數量積運算公式、三角函數的圖象與性質、余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．