Question

【題目】如圖，四邊形為正方形，，且，平面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】

（1）由勾股定理可得出，由平面可得出，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出平面，從而得出，再由正方形的性質得出，從而可得出平面，最后利用平面與平面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，令，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.

（1），，.

又平面，平面，.

，平面，平面，.

四邊形為正方形，.

又，平面.

平面，平面平面；

（2）平面，，平面.

以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，令.

則、、、，

，，，

設平面的法向量為，則，

令，則，.

設平面的法向量為，則，

令，則，，∴，

.

二面角為銳角，二面角的余弦值為.