Question

【題目】已知是定義域為的奇函數，且.

（1）求的解析式；

（2）證明在區間上是增函數；

（3）求不等式的解集.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由是定義域為的奇函數可得，再由，解得，可求函數的解析式；（2）任取，將分解因式，可證明，從而可得結論；（3）根據在區間上是增函數，結合函數的定義域列不等式組求解即可.

試題解析：（1）由題意可得，∴，

∴，解得，∴.

（2）設，則，

∵，∴， ， ，

∴，即，∴在上是增函數.

（3）由得，即，

由已知及（2）可得，解得，

∴原不等式的解集為.

【方法點晴】本題主要考查抽象函數的定義域、函數的單調性及利用單調性函數解不等式，屬于難題. 利用單調性函數解不等式應注意以下三點：（1）一定注意函數的定義域（這一點是同學們容易疏忽的地方，不能掉以輕心）；（2）注意應用函數的奇偶性（往往需要先證明是奇函數還是偶函數）；（3）化成 后再利用單調性和定義域列不等式組..