Question

 

函數，其中為常數．

（1）證明：對任意，的圖象恒過定點；

（2）當時，判斷函數是否存在極值？若存在,求出極值；若不存在,說明理由；

（3）若對任意時，恒為定義域上的增函數，求的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）令，得，且，

所以的圖象過定點；  

（2）當時，， 

令，經觀察得有根，下證明無其它根．

，當時，，即在上是單調遞增函數．

所以有唯一根；且當時，，在 上是減函數；當時，，在上是增函數；

所以是的唯一極小值點．極小值是．

（3），令

由題設，對任意，有，，

又   

當時，，是減函數；

當時，，是增函數；

所以當時，有極小值，也是最小值，

又由得，得，即的最大值為．