Question

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，c為半焦距，相鄰兩頂點的距離為

3

，橢圓C的離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：x+ky+1=0與橢圓C相交于A，B兩點（A、B不是橢圓的頂點），以AB為直徑的圓過橢圓C與y軸的正半軸的交點，求k的值；
（Ⅲ）過F₂的直線交橢圓C于M、N，求△MF₁N面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由已知：a²+b²=3，

c

a

=

2

2

，求出=

2

，b=1；即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）聯立直線方程與橢圓方程求出A、B兩點的坐標之間的關系；再結合以AB為直徑的圓過橢圓C與y軸的正半軸的交點P（0，1）的對應結論AP⊥BP即可求出k的值；（注意得到兩個值時一定要檢驗）
（Ⅲ）設M，N兩點的坐標分別為（e，f），（g，h）．先由S△MF 1N=S△MF 1F 2+SNF 1   F   2=

1

2

|F_!F₂|•|f-h|=c•|f-h|，轉化為求|f-h|的最大值；再聯立直線方程與橢圓方程結合韋達定理求出|f-h|的表達式，再利用基本不等式求出|f-h|的最大值即可求△MF₁N面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得  a²+b²=3，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1．
∴橢圓的方程為  

x2

2

+y2=1．（3分）
（Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
將直線x+ky+1=0代入橢圓方程

x2

2

+y2=1中，整理得
（k²+2）y²+2ky-1=0
∵△=4k²+4（k²+2）=8k²+8＞0
∴y1+y2=

-2k

k2+2

，y₁•y₂=

-1

k2+2

．
∴x₁•x₂=（-ky₁-1）•（-ky₂-1）=k²y₁•y₂+k（y₁+y₂）+1=

-2k2+2

k2+2

∵以AB為直徑的圓過橢圓與y軸正半軸的交點P（0，1），
∴AP⊥BP
∴k_AP•K_BP=-1
∴

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=-1
∴y₁y₂-（y₁+y₂）+x₁x₂+1=0
∴

-1

k2+2

-

-2k

k2+2

+

-2k2+2

k2+2

+1=0．
整理得  k²-2k-3=0
∴k=-1，k=3
當k=-1時，直線x-y+1=0過橢圓的一個頂點（0，1），與已知矛盾，舍去．
∴k值為3．（8分）
（Ⅲ）設M，N、兩點的坐標分別為（e，f），（g，h）．
直線MN與x軸夾角為α
由S△MF 1N=S△MF 1F 2+SNF 1   F   2=

1

2

|F_!F₂|•|f-h|=c•|f-h|
∴當|f-h|取得最大時，SMF 1N取得最大值．
設過F₂的直線為y=k（x-1），（k存在）
代入橢圓方程

x2

2

 + y2=1中，整理得
（

1

k2

+2)y2 +

2

k

y-1=0y²+

2

k

y-1=0
∴f+h=

-2k

2k2+1

，fh=

-k2

2k2+1

．
∴|f-h|²=（f+h）²-4fh=

4k2

(2k2+1)2

+

4k2

2k2+1

=

8k4+8 k2

(2k2+1)2

∴|f-h|²=

8tan2α•(1+tan2α)

(1+2tan2α)2

=

8sin2α

(1+sin2α)2

當k不存在時，也滿足上式．
∴|f-h|=2

2

sinα

1+sin 2α

=2

2

•

1

sinα+ 1 sinα

≤

2

當且僅當sinα=

1

sinα

即sinα=1時，等號成立．
∴△MF₁N的面積的最大值為

2

．（14分）

點評：此題是個難題．本題考查了直線與橢圓的位置關系，橢圓的標準方程，弦長公式和基本不等式的應用，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．