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（2012•浦東新區一模）世博中學為了落實上海市教委推出的“陽光運動一小時”活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S的矩形AMPN健身場地，如圖點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．
（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）設矩形AMPN健身場地每平方米的造價為
37k
S
，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價為
12k
S
（k為正常數），求總造價T關于S的函數T=f（S）；試問如何選取|AM|的長使總造價T最低（不要求求出最低造價）．
分析：（1）根據題意，分析可得，欲求健身場地占地面積，只須求出圖中矩形的面積即可，再結合矩形的面積計算公式求出它們的面積即得，最后再根據二次函數的性質得出其范圍；
（2）對于（1）所列不等式，考慮到其中兩項之積為定值，可利用基本不等式求它的最大值，從而解決問題．
解答：解：（1）在Rt△PMC中，顯然|MC|=30-x，∠PCM=60°
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=
3
（30-x），…2分
矩形AMPN的面積S=|PM||MC|=
3
x（30-x），x∈[10，20]…4分
于是200
3
≤S≤225
3
為所求．…6分
（2）矩形AMPN健身場地造價T1=37k
S
 …7分
又△ABC的面積為450
3
，即草坪造價T2=
12k
S
(450
3
-S）…8分
由總造價T=T1+T2，∴T=25k（
S
+
216
3
S
），200
3
≤S≤225
3
．…10分
∴T=25k（
S
+
216
3
S
），200
3
≤S≤225
3

∵
S
+
216
3
S
≥12
6
3
，…11分
當且僅當
S
=
216
3
S
即S=216
3
時等號成立，…12分
此時
3
x（30-x）=216
3
，解得x=12或x=18，
所以選取|AM|的長為12米或18米時總造價T最低．…14分．
點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、基本不等式的應用、矩形的面積等基礎知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•浦東新區一模）函數y=
log2(x-2) 
的定義域為
[3，+∞）
[3，+∞）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•浦東新區一模）若X是一個非空集合，M是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：
①X∈M、∅∈M；
②對于X的任意子集A、B，當A∈M且B∈M時，有A∪B∈M；
③對于X的任意子集A、B，當A∈M且B∈M時，A∩B∈M；
則稱M是集合X的一個“M-集合類”．
例如：M={∅，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一個“M-集合類”．已知集合X={a，b，c}，則所有含{b，c}的“M-集合類”的個數為
10
10
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•浦東新區二模）手機產業的發展催生了網絡新字“孖”．某學生準備在計算機上作出其對應的圖象，其中A（2，2），如圖所示．在作曲線段AB時，該學生想把函數y=x
1
2
，x∈[0，2]的圖象作適當變換，得到該段函數的曲線．請寫出曲線段AB在x∈[2，3]上對應的函數解析式
y=
2
(x-2)
1
2
+2
y=
2
(x-2)
1
2
+2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•浦東新區一模）設復數z滿足|z|=
10
，且（1+2i）z（i是虛數單位）在復平面上對應的點在直線y=x上，求z．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•浦東新區二模）已知z=
1
1+i
，則
.
z
=
1
2
+
1
2
i
1
2
+
1
2
i
．

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