Question

（本題滿分12分）已知函數，x∈R．

（1）當m =－1時，求函數y = f (x) 在 [－1，5 ] 上的單調區間和最值；

（2）設f ′(x) 是函數y = f (x) 的導數，當函數y = f ′(x) 的圖象在（－1，5）上與x軸有唯一的公共點時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解 （1）當m =－1時，，

∴ f ′(x) = 2x² + 2x－12 = 2（x + 3）（x－2）的兩個根為x =－3 或 x = 2，

只有x = 2在 [－1，5 ] 上，所以 f (x) 在 [－1，2 ] 上單調遞減，在 [ 2，5 ] 上單調遞增．又 ，，．          …………………… 4分

x	－1	（－1，2）	2	（2，5）	5
f ′(x)		－	0	+
f（x）			極值點

故函數y = f（x）在 [－1，5 ] 上的最大值為，最小值為．

…………………… 6分

（2）由已知有 f ′(x) = 2x²－2（2m + 1）x－6m（m－1），x∈R．

函數y = f ′(x) 的圖象與x軸的公共點的橫坐標就是二次方程

        x²－（2m + 1）x－3m（m－1）= 0 的實數根，解得 x₁ = 3m，x₂ = 1－m．

① 當x₁ = x₂ 時，有 3m = 1－m  Þ ，此時x₁ = x₂ =∈（－1，5）為所求．

…………………… 8分

② 當x₁≠x₂ 時，令H（x）= x²－（2m + 1）x－3m（m－1），則函數y = f ′(x) 的圖象在（－1，5）上與x軸有唯一的公共點  Þ  H（－1）· H（5）≤0，而 H（－1）=－3m² + 5m + 2，H（5）=－3m²－7m + 20，                                …………………… 9分

所以（－3m² + 5m + 2）（－3m²－7m + 20）≤0，

即（m－2）（3m + 1）（m + 4）（3m－5）≤0，

解得 －4≤m≤ 或 ≤m≤2．                                     …………………… 10分

經檢驗端點，當m =－4和m = 2時，不符合條件，舍去．

綜上所述，實數m的取值范圍是或－4＜m≤或≤m＜2．

…………………… 12分