Question

【題目】（12分）已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.

Answer 1

【答案】（1）C的方程為

（2）詳見解析

【解析】（1）由于，兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過，兩點.

又由知，C不經過點P1，所以點P2在C上.

因此，解得.

故C的方程為.

（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，

如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知，且，可得A，B的坐標分別為（t，），（t，）.

則，得，不符合題設.

從而可設l：（）.將代入得

由題設可知.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.

而

.

由題設，故.

即.

解得.

當且僅當時，，欲使l：，即，

所以l過定點（2，）