Question

（2010•成都一模）已知函數f（x）=（c^x-a）²-2x，a∈R，e為自然對數的底數．
（I）求函數f（x）的單調增區間；
（II）證明：對任意x∈[0，

1

2

)，恒有1+2x≤e2x≤

1

1-2x

成立；
（III）當a=0時，設g(n)=

1

n

[f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)]，n∈N*，證明：對ε∈（0，1），當n＞

e2-2

ε

時，不等式

e2-3

2

-g(n)＜ε總成立．

Answer 1

分析：（I）求導函數，令f′（x）＞0，解得f（x）的單調增區間；
（II）當x∈（-∞，0）時，h（x）=e^2x-2x是減函數；當x∈[0，+∞）時，h（x）=e^2x-2x是增函數，從而h（x）≥h（0），進而可證對任意x∈[0，

1

2

)，恒有1+2x≤e2x≤

1

1-2x

成立；
（III）當a=0時，得f（x）=e^2x-2x，從而g(n)=

1

n

[f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)]=

1

n

•

e2-1

e 2 n -1

-1+

1

n

，可證

e2-3

2

-g(n)≤

e2-2

n

，根據當n＞

e2-2

ε

時，

e2-2

n

＜ε，可得當n＞

e2-2

ε

時，不等式

e2-3

2

-g(n)＜ε總成立

解答：（I）解：f′（x）=2e^x（e^x-a）-2=2（e^2x-ae^x-1）
令f′（x）＞0，解得x＞ln

a+ a2+4

2

∴f（x）的單調增區間是(ln

a+ a2+4

2

，+∞)
（II）證明：由（I）知，當x∈（-∞，0）時，h（x）=e^2x-2x是減函數；當x∈[0，+∞）時，h（x）=e^2x-2x是增函數；
∴h（x）≥h（0）
∴e^2x-2x≥1
∴e^2x≥2x+1
x∈[0，

1

2

)時，∴e^-2x≥-2x+1＞0
∴e2x≤

1

1-2x

∴對任意x∈[0，

1

2

)，恒有1+2x≤e2x≤

1

1-2x

成立；
（III）證明：當a=0時，得f（x）=e^2x-2x
∴g(n)=

1

n

[f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)]
=

1

n

[(1+e

2

n

+e

4

n

+…+e

2(n-1)

n

)-(

2

n

+

4

n

+…+

2(n-1)

n

)]
=

1

n

•

e2-1

e 2 n -1

-1+

1

n

∵ε∈（0，1），∴當n＞

e2-2

ε

時，

1

n

∈(0，

1

2

)
由（II）知，1＜e

2

n

≤

1

1- 2 n

，0＜e

2

n

-1≤

2

n-2

∴

1

e 2 n -1

≥

n

2

-1
∴

e2-1

e 2 n -1

≥(

n

2

-1)(e2-1)
∴

1

n

•

e2-1

e 2 n -1

≥(

1

2

-

1

n

)(e2-1)
∴

1

n

•

e2-1

e 2 n -1

-1+

1

n

≥(

1

2

-

1

n

)(e2-1)-1+

1

n

∴g(n)≥

e2-3

2

-

e2-2

n

∴

e2-3

2

-g(n)≤

e2-2

n

∴當n＞

e2-2

ε

時，

e2-2

n

＜ε
∴當n＞

e2-2

ε

時，不等式

e2-3

2

-g(n)＜ε總成立

點評：本題以函數為載體，考查導數法求函數的單調區間，考查不等式的證明，解題的關鍵是充分利用函數的單調性，難度較大．