Question

【題目】證明：方程6－3x＝2x在區間[1,2]內只有一個實數解，并求出這個實數解．(精確到0.1)

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：證明方程6﹣3x=2x在區間[1，2]內有唯一一個實數解，只需證明函數在[1，2]內為單調函數，根據增加增味增這個結論，可以判斷函數為增函數，再結合根的存在性定理，二分法求解即可。．

　設函數f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，

又函數f(x)＝2x＋3x－6在R上是增函數，∴函數f(x)＝2x＋3x－6在區間[1,2]內有唯一的零點，則方程6－3x＝2x在區間[1,2]內有唯一的實數解．取區間[1,2]的中點x1＝1.5，

f(1.5)≈1.33>0，f(1)＝－1<0，∴函數f(x)＝2x＋3x－6的零點在區間[1，1.5]內；

取區間[1,1.5]的中點x2＝1.25，

f(1.25)≈0.128>0，

∴函數f(x)＝2x＋3x－6的零點在區間[1，1.25]內；

取區間[1,1.25]的中點x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，

∴函數f(x)＝2x＋3x－6的零點在區間[1.125,1.25]內；

再取區間[1.125,1.25]的中點x4＝1.187 5，

可得f(1.187 5)≈－0.16<0.

∴函數f(x)＝2x＋3x－6的零點在區間[1.187 5,1.25]內．

∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5 <0.1，

∴方程的近似實數解為1.2.