Question

（2013•蘭州一模）已知函數f（x）=

1

2

x2+2ex，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e為常數，e=2.71828），且這兩函數的圖象有公共點，并在該公共點處的切線相同．
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）若1≤x≤e時，2[f（x）-2ex]+

a

6e2

[2g(x)+e2]≤(a+2)x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用兩函數的圖象有公共點，并在該公共點處的切線相同，建立方程組，即可求實數b的值；
（Ⅱ）由1≤x≤e時，x²+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x²-2x恒成立，分離參數，求最值，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x+2e，g′(x)=

3e2

x

，
設f(x)=

1

2

x2+2ex與g（x）=3e²lnx+b的公共點為（x₀，y₀），
則有

1 2 x02+2ex0=3e2lnx0+b x0+2e= 3e2 x0 x0＞0.

…（3分）
解得b=-

e2

2

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)=3e2lnx-

e2

2

，
所以2[f(x)-2ex]+

a

6e2

[2g(x)+e2]=x2+alnx．
∴由1≤x≤e時，x²+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x²-2x恒成立．
∵1≤x≤e，∴lnx≤1≤x，且等號不能同時成立，∴x-lnx＞0．
∴a≥

x2-2x

x-lnx

在1≤x≤e時恒成立．…（8分）
設h(x)=

x2-2x

x-lnx

（1≤x≤e），則h′(x)=

(2x-2)(x-lnx)-(x2-2x)(1- 1 x )

(x-lnx)2

=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

．
顯然x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0．
所以h'（x）≥0（僅當x=1時取等號）．
∴h(x)=

x2-2x

x-lnx

在[1，e]上為增函數．…（11分）
故h(x)max=h(e)=

e2-2e

e-1

．
所以實數a的取值范圍是[

e2-2e

e-1

，+∞)．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．