Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，平面側面，且，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先取的中點，連接，根據線面垂直的判定定理，證明側面，進而可得出；

(Ⅱ)根據（Ⅰ）的結果，得到且底面，以點為原點，以所在直線分別為， ，軸建立空間直角坐標系，設，表示出，再求出平面的一個法向量，根據直線與平面所成角的大小為，求出，再求出平面的一個法向量，由向量夾角公式，即可求出結果.

（Ⅰ）如圖，取的中點，連接.

因為，所以.

由平面側面，且平面側面，

得平面.

又平面，所以，

因為三棱柱是直三棱柱，則底面，所以

又，從而側面，

又側面，故．

(Ⅱ)由（1）知且底面，所以以點為原點，以所在直線分別為， ，軸建立空間直角坐標系.

設，則，，，，，，，.

設平面的一個法向量，由，，得.

令，得，則.

設直線與平面所成的角為，則，

所以，

解得， 即.

又設平面的一個法向量為，同理可得.

設銳二面角的大小為，則，

由，得.

∴銳二面角的大小為.