Question

已知函數（是自然對數的底數）.
（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；
（2）當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與 在
上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）或;(2).

試題分析：(1)對在處求導，求出切線方程，與拋物線方程聯立，根據可求解；(2)求導解出的最小值為1，對曲線C求導，令導函數為1，得到方程，構造新函數，用求導方法判斷其零點個數，得解.
試題解析：（1），                                         1分
所以在處的切線為
即：                                                      2分
與聯立，消去得，
由知，或.                                    4分
（2）當時，令 得 

	單調遞減	極小值	單調遞增

則                                                          6分
設，
則，                         7分
假設存在實數，使曲線在點處的切線斜率與
在上的最小值相等，即為方程的解，                             8分
令得：，因為， 所以.    10分
令，則 ，                        11分
當是，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
,故方程 有唯一解為 ，               13分
所以存在符合條件的，且僅有一個.                              14分