Question

(13分) 已知等比數列{a_n}中，a₂＝2，a₅＝128．

(1) 求通項a_n；

(2) 若b_n = log₂a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n = 360，求n的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) a_n＝a₂·q^n—2＝2·4^n—2＝2^{2n—3  ；}(2) n＝20為所求

【解析】本試題主要是考查了數列的概念和數列求和的綜合運用。

（1）根據等比數列{a_n}中，首項和公比來表示已知中a₂＝2，a₅＝128．，，得到通項公式。

（2）結合上一問的結論，b_n＝log₂2^2n－3＝2n－3，然后利用等差數列求和得到結論。

解：(1) 設公比為q，由a₂＝2，a₅＝128及a₅＝a₂q³得 128＝2q³，

∴q＝4  ∴a_n＝a₂·q^n—2＝2·4^n—2＝2^2n—3  ····················· 6分

(2) b_n＝log₂2^2n－3＝2n－3 ·························· 8分

∴數列{b_n}是以－1為首項，2為公差的等差數列

∴S_n＝n (－1)＋＝n²－2n ····················· 11分

令n²－2n＝360得 n₁＝20，n₂＝－18（舍）

故n＝20為所求 ······························ 13分