Question

拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂，以F₁、F₂為焦點、離心率的橢圓C₂與拋物線C₁的一個交點為P．
（1）當m=1時求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經過橢圓C₂的右焦點F₂與拋物線L₁交于A₁，A₂兩點．如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線L的斜率；
（3）是否存在實數m，使△PF₁F₂的邊長是連續的自然數．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=1時，求出焦點坐標以及a，b 的值，寫出橢圓方程．
（2）由于△PF₁F₂周長為 2a+2c=6，故弦長|A₁A₂|=6，用點斜式設出直線L的方程，代入拋物線方程化簡，
得到根與系數的關系，代入弦長公式求出斜率 k的值．
（3）假設存在實數m，經分析在△PF₁F₂中|PF₁|最長，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，則|PF₁|=2m+1，
|PF₂|=2m-1，把代入橢圓方程求出m值．
解答：解：（1）m=1時，拋物線C₁：y²=4x，焦點為F₂ （1，0）． 由于橢圓離心率，c=1，
故 a=2，b=，故所求的橢圓方程為  ．
（2）由于△PF₁F₂周長為 2a+2c=6，故弦長|A₁A₂|=6，設直線L的斜率為k，則直線L的方程為 y-0=k（x-2），
代入拋物線C₁：y²=4x 化簡得 k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，∴，x₁x₂=4，
∴|A₁A₂|=•= =6，解得  ．
（3）假設存在實數m，△PF₁F₂的邊長是連續自然數，經分析在△PF₁F₂中|PF₁|最長，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，
則|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1． 由拋物線的定義可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把代入橢圓，解得m=3．故存在實數m=3 滿足條件．
點評：本題考查拋物線和橢圓的標準方程和簡單性質，弦長公式的應用，設出，△PF₁F₂的邊長是解題的難點．