Question

（本小題滿分12分）已知，函數

（1）當時，求函數在點(1，)的切線方程；

(2)求函數在[－1，1]的極值；

(3)若在上至少存在一個實數x₀，使>g(x_o)成立，求正實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 函數在點(1，)的切線方程為；

（Ⅱ）當即時，的極大值是，極小值是

①         當即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 

綜上所述   時，極大值為，無極小值

時  極大值是，極小值是  

（Ⅲ）（，）   .

 

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。 利用導數的幾何意義求解切線方程，并結合導數的符號與單調性的關系，求解函數的極值，并分析方程根的問題的綜合運用。

（1）先求解函數定義域和導數，然后得到切點處的導數值即為切線的斜率，利用點斜式得到方程。

（2）因為是關于含有參數的二次函數形式，那么對于參數a分情況討論得到單調性和極值問題。

（3）構造新的函數設，，利用導數的思想求解其最大值即可。便可以得到a的范圍。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  當時，  又 

∴  函數在點(1，)的切線方程為 --------4分

（Ⅱ）令   有 

②         當即時

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

故的極大值是，極小值是

③         當即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 

綜上所述   時，極大值為，無極小值

時  極大值是，極小值是        ----------8分

（Ⅲ）設，

對求導，得

∵，    

∴ 在區間上為增函數，則

依題意，只需，即 

解得  或（舍去）

則正實數的取值范圍是（，）     ----------12分