Question

正三棱錐P-ABC中，M，N是側棱PB、PC的中點，若截面AMN垂直于側面PBC，求棱錐的側面積與底面積的比．

Answer 1

分析：畫出圖形，說明棱錐的棱長等于底面三角形的高，設出高，然后求出側面面積，底面面積即可得到比值．

解答：解：取MN的中點H，連接PH交BC于E，連接AE、AH，因為正三棱錐P-ABC中，所以PA=PB=PC，M，N是側棱PB、PC的中點，所以AH⊥MN，
截面AMN垂直于側面PBC，所以BC⊥平面PAE，
∴AH是PE的垂直平分線．所以，PA=AE
設PA=a，所以AB=

2 3 a

3

，
棱錐的側面積為：3×

1

2

×

2 3 a

3

×

a2-( 3 a 3 )2

=

2

a²．
底面面積為：

3

4

(

2 3 a

3

)2=

3

3

a²．
棱錐的側面積與底面積的比：

2

3 3

=

6

．

點評：本題考查空間幾何體的想象能力，邏輯推理能力與計算能力．