Question

設f（x）=ax³+bx²+cx的極小值是-5，其導函數的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對任意的x∈[

1

e

，e]都有f（x）≥x³-3lnx+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象可知：導函數在x=-3和x=1處函數值為0，原函數在x=1處取到極小值-5，轉化為方程組即可解到a、b、c的值，可知函數解析式；
（Ⅱ）f（x）≥x³-3lnx+m對任意的x∈[

1

e

，e]都恒成立，?m≤3x²-9x+3lnx對任意的x∈[

1

e

，e]都恒成立，故只需m小于等于3x²-9x+3lnx在x∈[

1

e

，e]的最小值，然后用導數法求函數在閉區間的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
由圖象可知：導函數在x=-3和x=1處函數值為0，原函數在x=1處取到極小值-5，
故

f′(-3)=27a-6b+c=0 f′(1)=3a+2b+c=0 f(1)=a+b+c=-5

解此方程組得a=1，b=3，c=-9．
∴f（x）=x³+3x²-9x．…（5分）
（Ⅱ）由題意f（x）≥x³-3lnx+m對任意的x∈[

1

e

，e]都恒成立，?m≤3x²-9x+3lnx對任意的x∈[

1

e

，e]都恒成立，
故只需m小于等于3x²-9x+3lnx在x∈[

1

e

，e]的最小值．
令?（x）=3x²-9x+3lnx，x∈[

1

e

，e]，則?′(x)=6x-9+

3

x

=

6x2-9x+3

x

=

3(2x-1)(x-1)

x

，
令?'（x）=0，解得x1=

1

2

，x₂=1，當x變化時，?（x），?'（x）的變化情況如下表：

x		( 1 e ， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，e）	e
?'（x）		+	0	-	0	+
?（x）	φ( 1 e )		極大值		極小值-6		?（e）

∵?(

1

e

)=

3

e2

-

9

e

-3＞-6=?(1)，∴?（x）在x=1處取得x∈[

1

e

，e]的最小值?（1）=-6，∴m≤-6．
故m的取值范圍為：m≤-6  …（12分）

點評：本題為導數的綜合應用，涉及解三元一次方程組和導數法求閉區間的最值，屬難題．