Question

設橢圓的左、右焦點分別為 ，是橢圓上位于軸上方的動點 （Ⅰ）當取最小值時，求點的坐標；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以為直角頂點的內接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）設，，則
因為在橢圓上，所以，
，當時，取得最小值，此時點的坐標為.
（Ⅱ）設兩個頂點為B，C，顯然直線AC斜率存在，不妨設AC的直線方程為，代入橢圓的方程中可得，解得（即A點的橫坐標），
由弦長公式得：
同理：z
由，即，化解得：
，即.
考慮關于的方程，其判別式
（1）當時，，其兩根設為，由于，故兩根必為正根，顯然，故關于的方程有三解，相應地，這樣的等腰直角三角形有三個.
（2）當時，，此時方程的解，故方程
只有一解，相應地，這樣的等腰直角三角形只有一個.
（3）當時，顯然方程只有這一個解，相應地，這樣的等腰直角三角形只有一個.
綜上：當時，這樣的等腰直角三角形有三個；當時，這樣的等腰直角三角形只有一個.

略