Question

 

設a>0，函數f(x)=x2+a|lnx－1|.

（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f(x)在x=1出的切線方程；

（II）當x∈[1，+∞)時，求函數f(x)的最小值.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）當a=1時，

令x=1得f(1)=2，f ′(1)=1，所以切點為（1，2），切線的斜率為1，

所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為：x－y+1=0. …………4分

（Ⅱ）①當x≥e時，

a>0，恒成立. f(x)在[e，+∞)上增函數.

故當x=e時，ymin=f(e)=e2

②當1≤x<e時，

（�。┊�，即0<a≤2時，在時為正數，所以f(x)在區間[1，e）上為增函數.故當x=1時，ymin=1+a，且此時f(1)<f(e).

（ⅱ）當1<<e，即2<a<2e2時，在時為負數，在時為正數.所以f(x)在區間上為減函數，在上為增函數

故當時，，且此時

（ⅲ）當≥e；即a≥2e2時，在時為負數，所以f(x)在區間[1,e]上為減函數，故當x=e時，ymin=f(e)=e2.

綜上所述，當a≥2e2時，f(x)在x≥e時和1≤x≤e時的最小值都是e2.所以此時f(x)的最小值為f(e)= e2；

當2<a<2e2時，f(x)在x≥e的最小值為f(e)= e2，f(x)在1≤x≤e的最小值為，而，所以此時f(x)的最小值為.

當0<a≤2時，在x≥e時最小值為e2，在1≤x<e時的最小值為f(1)=1+a，而f(1)<f(e)，所以此時f(x)的最小值為f(1)=1+a

所以函數y=f(x)的最小值為

 ………………………12分