Question

在“猜數字”的游戲中，主持人在1～127中確定一個數字作為目標數字，記在心里，讓小光來猜，如果沒有猜對，主持人會告訴小光，他猜的數字比目標數字大還是小，再讓他猜，直到猜出目標數字為止．小光決定每次選擇數字范圍中最中間的數來猜目標數字，因為這樣能最有效地縮小范圍．
（1）如果主持人確定的目標數字是48，小光需要經過幾次猜測，才能正確猜出目標數字？
（2）如果主持人等可能地在1～127中隨機確定一個數字作為目標數字，小光平均要經過幾次猜測才能正確猜出目標數字？

Answer 1

解：可把1，2，3，，127這127個自然數看成是開區間（0，128）中的自然數
（1）當目標數字是48時，每次選擇數字范圍中最中間的數來猜目標數字
可猜64，32，48共3次可猜出目標；
（2）選擇數字范圍中最中間的數來猜目標，相當于要研究目標數字中含因數2的情況，故可如下分類：
1×2°，3×2°，5×2°，…，127×2°這64個數均猜7次
1×2¹，3×2¹，5×2¹，…，63×2¹這32個數均猜6次
1×2²，3×2²，5×2²，…，31×2²這16個數均猜5次
1×2³，3×2³，5×2³，••，15×2³這8個數均猜4次
1×2⁴，3×2⁴，5×2⁴，7×2⁴這4個數均猜3次
1×2⁵，3×2⁵這2個數均猜2次
1×2⁶這1個數只猜1次
平均期望次數為+2×2+1×1）=6.055
分析：（1）由題意知當目標數字是48時，每次選擇數字范圍中最中間的數來猜目標數字可猜64，32，48共3次可猜出目標；
（2）選擇數字范圍中最中間的數來猜目標，相當于要研究目標數字中含因數2的情況，列舉出可以猜出數字的所有情況，做出期望值．
點評：本題考查平均數，考查利用數學知識解決實際問題，這種題目題意比較難理解，是一個中檔題目，解題的關鍵是看清題目的本質．