Question

【題目】設函數f（x）=x2ex﹣1﹣ x3﹣x2（x∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）當x∈（1，+∞）時，用數學歸納法證明：n∈N* ， ex﹣1＞ （其中n!=1×2×…×n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2xex﹣1+x2ex﹣1﹣x2﹣2x=x（x+2）（ex﹣1﹣1），

令f′（x）=0，可得x1=﹣2，x2=0，x3=1．

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	﹣	0	+	0	﹣	0	+
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數y=f（x）的增區間為（﹣2，0）和（1，+∞），減區間為（﹣∞，﹣2）和（0，1）

（2）證明：設gn（x）=ex﹣1﹣ ，

當n=1時，只需證明g1（x）=ex﹣1﹣x＞0，當x∈（1，+∞）時，g1′（x）=ex﹣1﹣1＞0，

所以g1（x）=ex﹣1﹣x在（1，+∞）上是增函數，

所以g1（x）＞g1（1）=e0﹣1=0，即ex﹣1＞x；

當x∈（1，+∞）時，假設n=k時不等式成立，即gk（x）=ex﹣1﹣ ＞0，

當n=k+1時，

因為g′k+1（x）=ex﹣1﹣ =ex﹣1﹣ ＞0，

所以gk+1（x）在（1，+∞）上也是增函數．

所以gk+1（x）＞gk+1（1）=e0﹣ ＞0，

即當n=k+1時，不等式成立．

由歸納原理，知當x∈（1，+∞）時，n∈N*，ex﹣1＞

【解析】（1）利用導數求函數的單調區間，關鍵點有二，一是求對導函數，二是解不等式f′（x）＞0，得到x的范圍，再兼顧函數的定義域，列出當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況表，將能很輕松的解答問題；（2）本問根據要證明的不等式：n∈N* ， ex﹣1＞ ．構造出函數設gn（x）=ex﹣1﹣ ，在利用數學歸納法證明出當n∈N*時有假設n=k時不等式成立，即gk（x）=ex﹣1﹣ ＞0，這還要借助于導數來解答．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和數學歸納法的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．