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已知平面向量
OA
與
OB
的夾角θ∈[60°，120°]，且|
OA
|=|
OB
|=3，若
OP
=
1
3
OA
+
2
3
OB
，則
|OP|
的取值范圍是
[
3
，
7
]
[
3
，
7
]
．
分析：根據向量
OA
與
OB
的模長和夾角的范圍，結合數量積公式得
OA
•
OB
的取值范圍．再將向量
OP
平方，由數量積
OA
•
OB
的取值范圍得
OP
2的范圍，最后開方即可得到，
|OP|
的取值范圍．
解答：解：∵
OA
•
OB
=
|OA|
•
|OB|
cosθ=9cosθ，cosθ∈[cos120°，cos60°]，
∴
OA
•
OB
的取值范圍是[-
9
2
，
9
2
]
∵
OP
=
1
3
OA
+
2
3
OB
，
∴
|OP|
2=(
1
3
OA
+
2
3
OB
)2=
1
9
OA
2+
4
9
OA
•
OB
+
4
9
OB
2=1+
4
9
OA
•
OB
+4=5+
4
9
OA
•
OB

∵
OA
•
OB
∈[-
9
2
，
9
2
]，
∴當
OA
•
OB
=-
9
2
時，
|OP|
2有最小值3；當
OA
•
OB
=
9
2
時，
|OP|
2有最大值7
因此，
|OP|
的最小值是
3
，最大值為
7

故答案為：[
3
，
7
]
點評：本題給出兩個向量的長度和夾角的范圍，求它們的一個線性組合的長度取值范圍，考查了平面向量數量積、模與夾角的公式等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面直角坐標系中，點O為原點，A（-3，4），B（6，-2）．C（4，6），D在AB上，且2AD=BD
（1）求
AB
的坐標及|
1
2
BC
|；
（2）若
OE
=
OA
+
OB
，  
OF
=
OA
-
OB
，求
OE
•
OF
；
（3）求向量
DB
與
DC
夾角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題中，正確的是
①②③
①②③

①平面向量
a
與
b
的夾角為60°，
a
=（2，0），|
b
|=1，則|
a
+
b
|=
7
；
②已知
a
=（sinθ，
1+cosθ
），
b
=（1，
1-cosθ
）其中θ∈（π，
3π
2
）則
a
⊥
b
；
③O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足：
OP
=
OA
+λ（
AB
sinC
+
AC
sinB
），λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內心．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面內一動點P到定點F（2，0）的距離與點P到y軸的距離的差等于2．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作傾斜角為60°的直線l與軌跡C交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點，O為坐標原點，點M為軌跡C上一點，若向量
OM
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面向量
OA
=(1，4)，
OB
=(-1，6)，向量
OP
=2λ
OA
+2(1-λ) 
OB
，λ∈R，O為坐標原點，
（1）求當
OP
⊥
AB
時，
OP
的坐標；
（2）當|
OP
|取最小值時，求
OP
與
AB
的夾角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知對任意平面向量
AB
=(x，y)，將
AB
繞其起點沿順時針方向旋轉θ角得到向量
AP
=(xcosθ+ysinθ，-xsinθ+ycosθ)，叫做將點B繞點A沿順時針方向旋轉θ角得到點P．
（1）已知平面內點A（1，2），點B(1+
2
，2-2
2
)，將點B繞點A沿順時針方向旋轉
π
4
得到點P，求點P的坐標；
（2）設平面內曲線3x2+3y2+2xy=4上的每一點繞坐標原點O沿順時針方向旋轉
π
4
得到的點的軌跡是曲線C，求曲線C的方程；
（3）過（2）中曲線C的焦點的直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，當
OA
•
OB
=0時，求△AOB的面積．

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