Question

如圖，三棱錐中，底面，，，為的中點，點在上，且.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值.

Answer 1

（1）證明：∵底面，且底面，
∴            …………………1分
由，可得     …………………………2分
又 ，
∴平面                              …………………………3分
注意到平面，
∴                               …………………………4分
,為中點，
∴                              …………………………5分
，平面      …………………………6分
而平面，
∴                      …………………………7分
（2）方法一、如圖，以為原點、所在直線為軸、為軸建立空間直角坐標系.
則         …………………………8分
.      …………………………10分
設平面的法向量.

由得，
即……………（1）
     ……………（2）
取，則，.   …………………………12分
取平面的法向量為
則，
故平面與平面所成角的二面角（銳角）的余弦值為.    ……………14分
方法二、取的中點，的中點，連接，
，，∴.      ……………8分
，
∴.            ……………9分
同理可證：. 又，
∴.…………10分

則與平面所成的二面角的平面角（銳角）就等于平面與平面所成的二面角的平面角（銳角）
已知，，平面
∴，∴                    …………11分
又，∴平面
由于平面，∴
而為與平面的交線，
又底面，平面
為二面角的平面角                               …………12分
根據條件可得，
在中，
在中，由余弦定理求得                                   …………13分

故平面與平面所成角的二面角（銳角）的余弦值為.               …………14分

略