Question

【題目】已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，當x∈R時f(x)≥2x恒成立，求實數a的值，并求此時f(x)的最小值？

Answer 1

【答案】x=－2時，f(x) min=－3．

【解析】主要考查對數運算、二次函數、對數函數的圖象和性質。

解：由f(－1)=－2 ，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，

∴=10，a=10b．

又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，對x∈R恒成立，

由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0

即(lgb－1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立．

即b=10，∴a=100．

∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3

當x=－2時，f(x) min=－3．